Одной из задач, связанных с представлением табличных данных является построение так называемых кросс-таблиц.

Пусть имеется отношение с тремя атрибутами и потенциальным ключом, включающим первые два атрибута.

Невыразимость транзитивного замыкания реляционными операторами

Следующий пример иллюстрирует класс запросов, невыразимых средствами реляционной алгебры или реляционного исчисления по причине невыразимости средствами реляционной алгебры транзитивного замыкания отношений (см. гл. 1).

Обзор реляционной алгебры

Обзор реляционной алгебры

Третья часть реляционной модели, манипуляционная часть, утверждает, что доступ к реляционным данным осуществляется при помощи реляционной алгебры или эквивалентного ему реляционного исчисления.

В реализациях конкретных реляционных СУБД сейчас не используется в чистом виде ни реляционная алгебра, ни реляционное исчисление. Фактическим стандартом доступа к реляционным данным стал язык SQL (Structured Query Language). Язык SQL представляет собой смесь операторов реляционной алгебры и выражений реляционного исчисления, использующий синтаксис, близкий к фразам английского языка и расширенный дополнительными возможностями, отсутствующими в реляционной алгебре и реляционном исчислении. Вообще, язык доступа к данным называется реляционно полным, если он по выразительной силе не уступает реляционной алгебре (или, что то же самое, реляционному исчислению), т.е. любой оператор реляционной алгебры может быть выражен средствами этого языка. Именно таким и является язык SQL.

В данной главе будут рассмотрены основы реляционной алгебры.

Оператор декартового произведения

Оператор декартового произведения

Оператор декартового произведения - это единственный оператор, увеличивающий количество атрибутов, поэтому его нельзя выразить через объединение, вычитание, выборку, проекцию.

Оператор деления

Оператор деления

Оператор деления выражается через операторы вычитания, декартового произведения и проекции следующим образом:

Таким образом показано, что операторы соединения, пересечения и деления можно выразить через другие реляционные операторы, т.е. эти операторы не являются примитивными.

Оператор переименования атрибутов

Оператор переименования атрибутов

Оператор переименования атрибутов имеет следующий синтаксис:

где

В результате применения оператора переименования атрибутов получаем новое отношение, с измененными именами атрибутов.

Оператор пересечения

Оператор пересечения

Оператор пересечения выражается через вычитание следующим образом:

Оператор проекции

Оператор проекции

Оператор проекции - единственный оператор, уменьшающий количество атрибутов, поэтому его нельзя выразить через объединение, вычитание, декартово произведение, выборку.

Оператор соединения

Оператор соединения

Оператор соединения определяется через операторы декартового произведения и выборки. Для оператора естественного соединения добавляется оператор проекции.

Оператор выборки

Оператор выборки

Оператор выборки - единственный оператор, позволяющий проводить сравнения по атрибутам отношения, поэтому его нельзя выразить через объединение, вычитание, декартово произведение, проекцию.

Операторы объединения и вычитания

Операторы объединения и вычитания

Доказательство примитивности операторов объединения и вычитания более сложны и мы их здесь не приводим.

если они имеют идентичные заголовки,

Определение 1

. Будем называть отношения совместимыми по типу, если они имеют идентичные заголовки, а именно, Отношения имеют одно и то же множество имен атрибутов, т.е. для любого атрибута в одном отношении найдется атрибут с таким же наименованием в другом отношении, Атрибуты с одинаковыми именами определены на одних и тех же доменах. Некоторые отношения не являются совместимыми по типу, но становятся таковыми после некоторого переименования атрибутов. Для того чтобы такие отношения можно было использовать в реляционных операторах, вводится вспомогательный оператор переименования атрибутов.

двух совместимых по типу отношений

Определение 2

. Объединением двух совместимых по типу отношений называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих или , или обоим отношениям. Синтаксис операции объединения: Замечание. Объединение, как и любое отношение, не может содержать одинаковых кортежей. Поэтому, если некоторый кортеж входит и в отношение , то в объединение он входит один раз.

двух совместимых по типу отношений

Определение 3

. Пересечением двух совместимых по типу отношений называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих одновременно обоим отношениям . Синтаксис операции пересечения:

двух совместимых по типу отношений

Определение 4

. Вычитанием двух совместимых по типу отношений называется отношение с тем же заголовком, что и у отношений , и телом, состоящим из кортежей, принадлежащих отношению . Синтаксис операции вычитания:

называется отношение, заголовок которого является

Определение 5

. Декартовым произведением двух отношений называется отношение, заголовок которого является сцеплением заголовков отношений :

а тело состоит из кортежей, являющихся сцеплением кортежей отношений :

таких, что . Синтаксис операции декартового произведения: Замечание. Мощность произведения и соединяется с каждым кортежем отношения Замечание. Если в отношения имеются атрибуты с одинаковыми наименованиями, то перед выполнением операции декартового произведения такие атрибуты необходимо переименовать. Замечание. Перемножать можно любые два отношения, совместимость по типу при этом не требуется.

с тем же заголовком, что

Определение 6

. Выборкой (ограничением, селекцией) на отношении называется отношение с тем же заголовком, что и у отношения дают значение ИСТИНА. и (или) скалярные выражения. В простейшем случае условие , где и т.д.), а - атрибуты отношения -выборки (тэта-выборки) или ограничения, селекции. Синтаксис операции выборки: или

где каждый из атрибутов принадлежит

Определение 7

. Проекцией отношения , где каждый из атрибутов принадлежит отношению и телом, содержащим множество кортежей вида найдутся кортежи со значением атрибута , значением атрибута , …, значением атрибута . Синтаксис операции проекции: Замечание. Операция проекции дает "вертикальный срез" отношения, в котором удалены все возникшие при таком срезе дубликаты кортежей.

Таким образом, операция соединения есть

Определение 8

. Соединением отношений по условию и Таким образом, операция соединения есть результат последовательного применения операций декартового произведения и выборки. Если в отношениях имеются атрибуты с одинаковыми наименованиями, то перед выполнением соединения такие атрибуты необходимо переименовать.

Это частный случай операции общего

Определение 9

. Пусть отношение , отношение , а и т.д.). Тогда соединением отношения с отношением называют отношение Это частный случай операции общего соединения. Иногда, для операции

Естественное соединение настолько важно, что

Определение 10

. Пусть даны отношения , имеющие одинаковые атрибуты Тогда естественным соединением отношений называется отношение с заголовком , таких, что . Естественное соединение настолько важно, что для него используют специальный синтаксис: Замечание. В синтаксисе естественного соединения не указываются, по каким атрибутам производится соединение. Естественное соединение производится по всем одинаковым атрибутам. Замечание. Естественное соединение эквивалентно следующей последовательности реляционных операций: Переименовать одинаковые атрибуты в отношениях Выполнить декартово произведение отношений Выполнить выборку по совпадающим значениям атрибутов, имевших одинаковые имена Выполнить проекцию, удалив повторяющиеся атрибуты Переименовать атрибуты, вернув им первоначальные имена Замечание. Можно выполнять последовательное естественное соединение нескольких отношений. Нетрудно проверить, что естественное соединение (как, впрочем, и соединение общего вида) обладает свойством ассоциативности, т.е. поэтому такие соединения можно записывать, опуская скобки:

Деление отношений аналогично делению чисел

Определение 11

. Пусть даны отношения , причем атрибуты Делением отношений называется отношение с заголовком , таких, что для всех кортежей найдется кортеж Отношение делимого, отношение делителя. Деление отношений аналогично делению чисел с остатком. Синтаксис операции деления: Замечание. Типичные запросы, реализуемые с помощью операции деления, обычно в своей формулировке имеют слово "все" - "какие поставщики поставляют все детали?".

Отношения, совместимые по типу

Отношения, совместимые по типу

Некоторые реляционные операторы (например, объединение) требуют, чтобы отношения имели одинаковые заголовки. Действительно, отношения состоят из заголовка и тела. Операция объединения двух отношений есть просто объединение двух множеств кортежей, взятых из тел соответствующих отношений. Но будет ли результат отношением? Во-первых, если исходные отношения имеют разное количество атрибутов, то, очевидно, что множество, являющееся объединением таких разнотипных кортежей нельзя представить в виде отношения. Во-вторых, пусть даже отношения имеют одинаковое количество атрибутов, но атрибуты имеют различные наименования. Как тогда определить заголовок отношения, полученного в результате объединения множеств кортежей? В-третьих, пусть отношения имеют одинаковое количество атрибутов, атрибуты имеют одинаковые наименования, но определенны на различных доменах. Тогда снова объединение кортежей не будет образовывать отношение.

Плохая нормализация отношений

Плохая нормализация отношений

Данный пример взят из книги Гилуа М.М. [6, стр.43].

Следующий оператор возвращает неименованное отношение,

Пример 1

. Следующий оператор возвращает неименованное отношение, в котором атрибут :

Пусть даны два отношения

Пример 2

. Пусть даны два отношения с информацией о сотрудниках:

в предыдущем примере пересечение имеет

Пример 3

. Для тех же отношений , что и в предыдущем примере пересечение имеет вид:

в предыдущем примере вычитание имеет

Пример 4

. Для тех же отношений , что и в предыдущем примере вычитание имеет вид:

Пусть даны два отношения

Пример 5

. Пусть даны два отношения с информацией о поставщиках и деталях:

Пусть дано отношение

Пример 6

. Пусть дано отношение

Пусть дано отношение

Пример 7

. Пусть дано отношение

и поставляемых деталях. Пусть поставщикам

Пример 8

. Рассмотрим некоторую компанию, в которой хранятся данные о поставщиках и поставляемых деталях. Пусть поставщикам и деталям присвоен некий статус. Пусть бизнес компании организован таким образом, что поставщики имеют право поставлять только те детали, статус которых не выше статуса поставщика (смысл этого может быть в том, что хороший поставщик с высоким статусом может поставлять больше разновидностей деталей, а плохой поставщик с низким статусом может поставлять только ограниченный список деталей, важность которых (статус детали) не очень высока).

Пусть имеются отношения

Пример 9

. Пусть имеются отношения и

В предыдущем примере ответ на

Пример 10

. В предыдущем примере ответ на вопрос "какие детали поставляются поставщиками", более просто записывается в виде естественного соединения трех отношений

и поставками ответим на вопрос,

Пример 11

. В примере с поставщиками, деталями и поставками ответим на вопрос, "какие поставщики поставляют все детали?". В качестве делимого возьмем проекцию

Получить имена поставщиков, поставляющих по

Пример 13

являются наименования химических веществ, значениями

Примитивные реляционные операторы

Оставшиеся реляционные операторы (объединение, вычитание, декартово произведение, выборка, проекция) являются примитивными операторами - их нельзя выразить друг через друга.

Соединение

Операция соединения отношений, наряду с операциями выборки и проекции, является одной из наиболее важных реляционных операций.

Обычно рассматривается несколько разновидностей операции соединения: Общая операция соединения Экви-соединение Естественное соединение

Наиболее важным из этих частных случаев является операция естественного соединения. Все разновидности соединения являются частными случаями общей операции соединения.

Отношение A

Таблица 1 Отношение A

Отношение BОбъединение отношений

Таблица 2 Отношение BОбъединение отношений будет иметь вид:

Как видно из приведенного примера,

Таблица 3 Отношение A UNION BЗамечание. Как видно из приведенного примера, потенциальные ключи, которые были в отношениях не наследуются объединением этих отношений. Поэтому, в объединении отношений атрибут "Табельный номер" может содержать дубликаты значений. Если бы это было не так, и ключи наследовались бы, то это противоречило бы понятию объединения как "объединение множеств". Конечно, объединение отношений имеет, как и любое отношение, потенциальный ключ, например, состоящий из всех атрибутов.

в отличие от операции объединения,

Таблица 4 Отношение A INTERSECT BЗамечание. Казалось бы, что в отличие от операции объединения, потенциальные ключи могли бы наследоваться пересечением отношений. Однако это не так. Вообще, никакие реляционные операторы не передают результатирующему отношению никаких данных о потенциальных ключах. В качестве причины этого можно было бы привести тривиальное соображение, что так получается более просто и симметрично - все операторы устроены одинаково. На самом деле причина более глубока, и заключается в том, что потенциальный ключ - семантическое понятие, отражающее различимость объектов предметной области. Наличие потенциальных ключей не выводится из структуры отношения, а явно задается для каждого отношения, исходя из его смысла. Реляционные же операторы являются формальными операциями над отношениями и выполняются одинаково, независимо от смысла данных, содержащихся в отношениях. Поэтому, реляционные операторы ничего не могут "знать" о смысле данных. Трактовка результата реляционных операций - дело пользователя.

Отношение A MINUS B

Таблица 5 Отношение A MINUS B

Отношение A (Поставщики)

Таблица 6 Отношение A (Поставщики)

Декартово произведение отношений

Таблица 7 Отношение B (Детали) Декартово произведение отношений будет иметь вид:

Сама по себе операция декартового

Таблица 8 Отношение A TIMES BЗамечание. Сама по себе операция декартового произведения не очень важна, т.к. она не дает никакой новой информации, по сравнению с исходными отношениями. Для реальных запросов эта операция почти никогда не используется. Однако операция декартового произведения важна для выполнения специальных реляционных операций, о которых речь пойдет ниже.

Результат выборки

Таблица 9 Отношение A Результат выборки

выбрать кортежи отношения, удовлетворяющие некоторому

Таблица 10 Отношение A WHERE Зарплата<3000Смысл операции выборки очевиден - выбрать кортежи отношения, удовлетворяющие некоторому условию. Таким образом, операция выборки дает "горизонтальный срез" отношения по некоторому условию.

center> Таблица

Таблица 11 Отношение A (Поставщики) Проекция

center> Таблица

Таблица 12 Отношение A[Город поставщика]

center> Таблица

Таблица 13 Отношение A (Поставщики)

какие поставщики имеют право поставлять

(Статус детали)

Таблица 14 Отношение B (Детали) Ответ на вопрос " какие поставщики имеют право поставлять какие детали?" дает :

Какие поставщики поставляют какие

(Статус поставщика) Номер детали Наименование детали Y

(Статус детали)

Таблица 15 Отношение " Какие поставщики поставляют какие детали"

center> Таблица

PNUM Наименование поставщика

PNAME

Таблица 16 Отношение P (Поставщики)

center> Таблица

DNUM Наименование детали

DNAME

Таблица 17 Отношение D (Детали)

Ответ на вопрос, какие детали

PNUM Номер детали

DNUM Поставляемое количество

VOLUME

Таблица 18 Отношение PD (Поставки) Ответ на вопрос, какие детали поставляются поставщиками, дает экви-соединение

Обычно, такой сложной формой записи не пользуются. Но как бы то ни было, в результате имеем отношение:

соединения является то, что если

PNUM1 Наименование поставщика

PNAME Номер поставщика

PNUM2 Номер детали

DNUM Поставляемое количество

VOLUME

Таблица 19 Отношение "Какие детали поставляются какими поставщиками" Недостатком экви- соединения является то, что если соединение происходит по атрибутам с одинаковыми наименованиями (а так чаще всего и происходит!), то в результатирующем отношении появляется два атрибута с одинаковыми значениями. В нашем примере атрибуты PNUM1 и PNUM2 содержат дублирующие данные. Избавиться от этого недостатка можно, взяв проекцию по всем атрибутам, кроме одного из дублирующих. Именно так действует естественное соединение.

P JOIN PD JOIN

PNUM Наименование поставщика

PNAME Номер детали

DNUM Наименование детали

DNAME Поставляемое количество

VOLUME

Таблица 20 Отношение P JOIN PD JOIN D

В качестве делителя возьмем проекцию

PNUM Номер детали

DNUM

Таблица 21 Проекция X=PD[PNUM,DNUM] В качестве делителя возьмем проекцию

center> Таблица

DNUM

Таблица 22 Проекция Y=D[DNUM] Деление

center> Таблица

PNUM

Таблица 23 Отношение X DEVIDEBY Y Оказалось, что только поставщик с номером 1 поставляет все детали.

ХИМИЧЕСКИЙ СОСТАВ ВЕЩЕСТВ

Таблица 24 Отношение ХИМИЧЕСКИЙ_СОСТАВ_ВЕЩЕСТВРассмотрим запрос "Найти все химические элементы, содержание которых в каком-либо из веществ превышает заданный процент (скажем, 90)". С алгоритмической точки зрения этот запрос выполняется элементарно - просматриваются все столбцы таблицы, если в столбце присутствует хотя бы одно значение, большее 90, то запоминается заголовок этого столбца. Набор наименований запомненных столбцов и является ответом на запрос. Формально невозможно выразить этот запрос в рамках реляционной алгебры, т.к. ответом на этот запрос должен быть список атрибутов отношений, удовлетворяющих определенному условию. В реляционной алгебре нет операторов, манипулирующих с наименованиями атрибутов. На самом деле, этот пример показывает, что таблица плохо нормализована (нормализация отношений рассматривается в гл.6 и 7). В таблице есть набор однотипных атрибутов ("Водород", "Гелий" и т.д. в количестве 105 столбцов). Правильнее разбить это отношение на три различных отношения: ВЕЩЕСТВО(НОМ_ВЕЩЕСТВА, ВЕЩЕСТВО), ЭЛЕМЕНТЫ(НОМ_ЭЛЕМЕНТА, ЭЛЕМЕНТ), ХИМИЧЕСКИЙ_СОСТАВ_ВЕЩЕСТВ(НОМ_ВЕЩЕСТВА, НОМ_ЭЛЕМЕНТА, ПРОЦЕНТ).

center> Таблица

Таблица 25 Отношение ВЕЩЕСТВО

center> Таблица

Таблица 26 Отношение ЭЛЕМЕНТЫ

НОМЕР ВЕЩЕСТВА

Таблица 27 Отношение ХИМИЧЕСКИЙ_СОСТАВ_ВЕЩЕСТВДля отношений, нормализованных таким образом, исходный запрос реализуется следующей последовательностью операторов: R1(НОМЕР_ВЕЩЕСТВА,НОМ_ЭЛЕМЕНТА,ПРОЦЕНТ)= ХИМИЧЕСКИЙ_СОСТАВ_ВЕЩЕСТВ[ПРОЦЕНТ>90]. (Выборка из отношения). R2(НОМ_ЭЛЕМЕНТА) = R1[НОМ_ЭЛЕМЕНТА]. (Проекция отношения). R3(НОМ_ЭЛЕМЕНТА,ЭЛЕМЕНТ)= R2[НОМ_ЭЛЕМЕНТА=НОМ_ЭЛЕМЕНТА]ЭЛЕМЕНТЫ. (Естественное соединение) ОТВЕТ(ЭЛЕМЕНТ) = R3[ЭЛЕМЕНТ]. (Проекция таблицы). На языке SQL такой запрос реализуется одной командой: SELECT ЭЛЕМЕНТЫ.ЭЛЕМЕНТ FROM ЭЛЕМЕНТЫ, ХИМИЧЕСКИЙ_СОСТАВ_ВЕЩЕСТВ WHERE ЭЛЕМЕНТЫ.НОМ_ЭЛЕМЕНТА=ХИМИЧЕСКИЙ_СОСТАВ_ВЕЩЕСТВ.НОМ_ЭЛЕМЕНТА AND ХИМИЧЕСКИЙ_СОСТАВ_ВЕЩЕСТВ.ПРОЦЕНТ>90;

Ответом на запрос может быть

Таблица 28 Отношение СОТРУДНИКИ Рассмотрим запрос "Перечислить всех руководителей (прямых и непрямых) данного сотрудника". Ответом на запрос может быть получен при помощи понятия транзитивного замыкания. Однако транзитивное замыкание не может быть выражено операторами реляционной алгебры.

Построение кросс- таблицы средствами

Таблица 30 Кросс-таблица Построение кросс- таблицы средствами реляционной алгебры невозможно, т.к. для этого требуется превратить данные в ячейках таблицы в наименования новых столбцов таблицы.

к реляционным данным возможен при

Замкнутость реляционной алгебры

Реляционная алгебра представляет собой набор операторов, использующих отношения в качестве аргументов, и возвращающие отношения в качестве результата. Таким образом, реляционный оператор

Реляционная алгебра является замкнутой, т.к. в качестве аргументов в реляционные операторы можно подставлять другие реляционные операторы, подходящие по типу:

Таким образом, в реляционных выражениях можно использовать вложенные выражения сколь угодно сложной структуры.

Каждое отношение обязано иметь уникальное имя в пределах базы данных. Имя отношения, полученного в результате выполнения реляционной операции, определяется в левой части равенства. Однако можно не требовать наличия имен от отношений, полученных в результате реляционных выражений, если эти отношения подставляются в качестве аргументов в другие реляционные выражения. Такие отношения будем называть неименованными отношениями. Неименованные отношения реально не существуют в базе данных, а только вычисляются в момент вычисления значения реляционного оператора.

Традиционно, вслед за Коддом [43], определяют восемь реляционных операторов, объединенных в две группы.

Теоретико-множественные операторы: Объединение Пересечение Вычитание Декартово произведение

Специальные реляционные операторы: Выборка Проекция Соединение Деление

Не все они являются независимыми, т.е. некоторые из этих операторов могут быть выражены через другие реляционные операторы.

Запросы, невыразимые средствами реляционной алгебры

Несмотря на мощь языка реляционной алгебры, имеется ряд типов запросов, которые принципиально нельзя выразить только при помощи операторов реляционной алгебры. Это вовсе не означает, что ответы на эти запросы нельзя получить вообще. Просто, для получения ответов на подобные запросы приходится применять процедурные расширения реляционных языков.

Зависимые реляционные операторы

Как было сказано в начале главы, не все операторы реляционной алгебры являются независимыми - некоторые из них выражаются через другие реляционные операторы.

---

---